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证明三角形全等的一般思路

   日期:2020-04-09     来源:www.zhixueshuo.com    作者:智学网    浏览:416    评论:0    
核心提示:一、当已知两个三角形中有两边对应相等时,找夹角相等(SAS)或第三边相等(SSS)。例1. 如图1,已知:AC=BC,CD=CE,ACB=DCE
一、当已知两个三角形中有两边对应相等时,找夹角相等(SAS)或第三边相等(SSS)。
例1. 如图1,已知:AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=60,且B、C、D在同一条直线上。
求证:AD=BE

剖析:要证AD=BE
注意到AD是△ABD或△ACD的边,BE是△DEB或△BCE的边,仅需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE,显然△ABD和△DEB不全等,而在△ACD和△BCE中,AC=BC,CD=CE,故仅需证它们的夹角ACD=BCE即可。
而ACD=ACE+60,BCE=ACE+60
故△ACD≌△BCE(SAS)
二、当已知两个三角形中有两角对应相等时,找夹边对应相等(ASA)或找任一等角的对边对应相等(AAS)
例2. 如图2,已知点A、B、C、D在同一直线上,AC=BD,AM∥CN,BM∥DN。
求证:AM=CN

剖析:要证AM=CN
只须证△ABM≌△CDN,在这两个三角形中,由于AM∥CN,BM∥DN,可得
A=NCD,ABM=D
可见有两角对应相等,故仅需证其夹边相等即可。
又由于AC=BD,而
故AB=CD
故△ABM≌△CDN(ASA)
三、当已知两个三角形中,有一边和一角对应相等时,可找另一角对应相等(AAS,ASA)或找夹等角的另一边对应相等(SAS)
例3. 如图3,已知:CAB=DBA,AC=BD,AC交BD于点O。
求证:△CAB≌DBA

剖析:要证△CAB≌△DBA
在这两个三角形中,有一角对应相等(CAB=DBA)
一边对应相等(AC=BD)
故可找夹等角的边(AB、BA)对应相等即可(借助SAS)。
四、已知两直角三角形中,当有一边对应相等时,可找另一边对应相等或一锐角对应相等
例4. 如图4,已知AB=AC,AD=AG,AEBG交BG的延长线于E,AFCD交CD的延长线于F。
求证:AE=AF

剖析:要证AE=AF
仅需证Rt△AEB≌Rt△AFC,在这两个直角三角形中,已有AB=AC
故仅需证B=C即可
而要证B=C
需证△ABG≌△ACD,这显然易证(SAS)。
五、当已知图形中无现存的全等三角形时,可通过添作辅助线构成证题所需的三角形
例5. 如图5,已知△ABC中,BAC=90,AB=AC,BD是中线,AEBD于F,交BC于E。
求证:ADB=CDE

剖析:由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等,故需作辅助线。注意到AEBD,BAC=90,有1=2,又AB=AC。故可以2为一内角,以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形,为此,过C作CGAC交AE的延长线于G,则△ABD≌△CAG,故ADB=CGA。
对照结论需证CGA=CDE
又要证△CGE≌△CDE,这可由
CG=AD=CD,ECG=EBA=ECD,CE=CE而获证。
 
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