以下是智学网为大伙收拾的关于《全国高考考试高中三年级理科数学立体几何期中综合测试》的文章，供大伙学习参考！
1、选择题
1 ．（2013年高考考试新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,假如不计容器的厚度,则球的体积为
（ ）
A． B． C． D．
A
2 ．（2013年一般高等学校招生统一考试广东数学（理）卷（纯WORD版））设 是两条不一样的直线, 是两个不一样的平面,下列命题中正确的是 （ ）
A．若 , , ,则 B．若 , , ,则
C．若 , , ,则 D．若 , , ,则
D
3 ．（2013年上海春天高考考试数学试题）若两个球的表面积之比为 ,则这两个球的体积之比为 （ ）
A． B． C． D．
C
4 ．（2013年一般高等学校招生统一考试概要版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四棱柱 中 ,则 与平面 所成角的正弦值等于 （ ）
A． B． C． D．
A [出处:www.12999.Com]
5 ．（2013年高考考试新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
（ ）
A． B． C． D．
A
6 ．（2013年高考考试湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个容易几何体组成,其体积分别记为 , , , ,上面两个容易几何体均为旋转体,下面两个容易几何体均为多面体,则有 （ ）
A． B． C． D．
C
7 ．（2013年高考考试湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （ ）
A． B． C． D．
C
8 ．（2013年一般高等学校招生统一考试广东数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图如图所 示,则该四棱台的体积是
（ ）
A． B． C． D．
B
9 ．（2013年一般高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知 为异面直线, 平面 , 平面 .直线 满足 ,则 （ ）
A． ,且 B． ,且
C． 与 相交,且交线垂直于 D． 与 相交,且交线平行于
D
10．（2 013年一般高等学校招生统一考试山东数学（理）考试题目（含答案） ）已知三棱柱 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 的正三角形.若 为底面 的中心,则 与平面 所成角的大小为 （ ）
A． B． C． D．
B
11．（2013年一般高等学校招生统一考试重庆数学（理）考试题目（含答案））某几何体的三视图如题 图所示,则该几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
C
12．（2013年一般高等学校招生统一考试辽宁数学（理）考试题目（WORD版））已知三棱柱 的6个顶点都在球 的球面上,若 , , ,则球 的半径为 （ ）
A． B． C． D．
C
13．（2013年高考考试江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上,且 ,正 方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为 ,那样
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
A
14．（2013年一般高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ,画该四面体三视图中的正视图时,以 平面为投影面,则得到正视图可以为
（ ）
A． B． C． D．
A
15．（2013年一般高等学校招生统一考试安徽数学（理）考试题目（纯WORD版））在下列命题中,不是公理的是 （ ）
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C．假如一条直线上的两点在一个平面内,那样这条直线上所有些点都在此平面内
D．假如两个不重合的平面有一个公共点, 那样他们有且只有一条过该点的公共直线
A
16．（2013年一般高等学校招生统一考试浙江数学（理）考试题目（纯WORD版））在空间中,过点 作平面 的垂线,垂足为 ,记 .设 是两个不一样的平面,对空间任意一点 , ,恒有 ,则 （ ）
A．平面 与平面 垂直 B．平面 与平面 所成的二面角为
C．平面 与平面 平行 D．平面 与平面 所成的二面角为
A
17．（2013年高考考试四川卷（理））一个几何体的三视图如图所 示,则该几何体的直观图可以是
D
2、填空题
18．（2013年高考考试上海卷（理））在 平面上,将两个半圆弧 和 、两条直线 和 围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为 ,过 作 的水平截面,所得截面面积为 ,试借助祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 的体积值为__________
.
19．（2013年高考考试陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___ _____.
20．（2013年一般高等学校招生统一考试概要版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知圆 和圆 是球 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 的半径, ,且圆 与圆 所在的平面所成的一个二面角为 ,则球 的表面积等于______.
21．（2013年高考考试北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.
22．（2013年一般高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））如图,在三棱柱 中, 分别是 的中点,设三棱锥 的体积为 ,三棱柱 的体积为 ,则 ____________.
23．（2013年一般高等学校招生统一考试浙江数学（理）考试题目（纯WORD版））若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于________ .
24
24．（2013年一般高等学校招生统一考试安徽数学（理）考试题目（纯WORD版））如图,正方体 的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段 上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___.[
①当 时,S为四边形;②当 时,S为等腰梯形;③当 时,S与 的交点R满足 ;④当 时,S为六边形;⑤当 时,S的面积为 .
①②③⑤
25．（2013年一般高等学校招生统一考试辽宁数学（理）考试题目（WORD版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.
26．（2013年一般高等学校招生统一考试福建数学（理）考试题目（纯WORD版））已知某一多面体内接于一个容易组合体,假如该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________
27．（2013年上海春天高考考试数学试题）在如图所示的正方体 中,异面直线 与 所成角的大小为_______
3、解答卷
28．（2013年一般高等学校招生统一考试辽宁数学（理）考试题目（WORD版））如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
求证:
29．（2013年一般高等学校招生统一考试重庆数学（理）考试题目（含答案））如图,四棱锥 中, , , 为 的中点, .
求 的长; 求二面角 的正弦值.
1．（2013年一般高等学校招生统一考试安徽数学（理）考试题目（纯WORD版））如图,圆锥顶点为 .底面圆心为 ,其母线与底面所成的角为22.5°. 和 是底面圆 上的两条平行的弦,轴 与平面 所成的角为60°.
证明:平面 与平面 的交线平行于底面; 求 .
解:
.
所以, .
.
.
.
法二:
1．（2013年一般高等学校招生统一 考试浙江数学（理）考试题目（纯WORD版））如图,在四面体 中, 平面 , . 是 的中点, 是 的中点,点 在线段 上,且 .
证明: 平面 ;若二面角 的大小为 ,求 的大小.
解:证明办法一:如图6,取 的中点 ,且 是 中点,所以 .由于 是 中点,所以 ;又由于 且 ,所以 ,所以面 面 ,且 面 ,所以 面 ;
办法二:如图7所示,取 中点 ,且 是 中点,所以 ;取 的三等分点 ,使 ,且 ,所以 ,所以 ,且 ,所以 面 ;
如图8所示,由已知得到面 面 ,过 作 于 ,所以 ,过 作 于 ,连接 ,所以 就是 的二面角;由已知得到 ,设 ,所以
,
在 中, ,所以在 中, ,所以在 中
;
2．（2013年上海春天高考考试数学试题）如图,在正三棱锥 中, ,异面直线 与 所成角的大小为 ,求该三棱柱的体积.
[解]由于 .
所以 为异面直线 与 .所成的角,即 = .
在Rt 中, ,
从而 ,
因此该三棱柱的体积为 .
3．（2013年一般高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分.
如图,在三棱锥 中,平面 平面 , , ,过 作 ,垂足为 ,点 分别是棱 的中点.
求证:平面 平面 ; .
证明:∵ , ∴F分别是SB的中点
∵E.F分别是SA.SB的中点 ∴EF∥AB
又∵EF 平面ABC, AB 平面ABC ∴EF∥平面ABC
同理:FG∥平面ABC
又∵EF FG=F, EF.FG 平面ABC∴平面 平面
∵平面 平面
平面 平面 =BC
AF 平面SAB
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC 又∵BC 平面SBC ∴AF⊥BC
又∵ , AB AF=A, AB.AF 平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA 平面SAB∴BC⊥SA
4．（2013年高考考试上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.
由于ABCD-A1B1C1D1为长方体,故 ,
故ABC1D1为平行四边形,故 ,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C;
直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为
分析三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得
而 中, ,故
所以, ,即直线BC1到平面D1AC的距离为 .
5．（2013年高考考试湖北卷（理））如图, 是圆 的直径,点 是圆 上异于 的点,直线 平面 , , 分别是 , 的中点.
记平面 与平面 的交线为 ,试判断直线 与平面 的地方关系,并加以证明;
设中的直线 与圆 的另一个交点为 ,且点 满足 .记直线 与平面 所成的角为 ,异面直线 与 所成的角为 ,二面角 的大小为 ,求证: .
连接DF,用几何办法非常快就可以得到求证.
6．（2013年一般高等学校招生统一考试广东数学（理）卷（纯WORD版））如图1,在等腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点, , 为 的中点.将 沿 折起,得到如图2所示的四棱锥 ,其中 .
证明: 平面 ; 求二面角 的平面角的余弦值.
在图1中,易得
连结 ,在 中,由余弦定理可得
由翻折不变性可知 ,
所以 ,所以 ,
理可证 , 又 ,所以 平面 .
传统法:过 作 交 的延长线于 ,连结 ,
由于 平面 ,所以 ,
所以 为二面角 的平面角.
结合图1可知, 为 中点,故 ,从而
所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值为 .
向量法:以 点为原点,打造空间直角坐标系 如图所示,
则 , ,
所以 ,
设 为平面 的法向量,则
,即 ,解得 ,令 ,得
由 知, 为平面 的一个法向量,
所以 ,即二面角 的平面角的余弦值为 .
7．（2013年一般高等学校招生统一考试天津数学（理）考试题目（含答案））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.
证明B1C1⊥CE;
求二面角B1-CE-C1的正弦值.
设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 , 求线段AM的长.
8．（2013年高考考试新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
证明AB⊥A1C;
若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
取AB中点E,连结CE, , ,
∵AB= , = ,∴ 是正三角形,
∴ ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵ =E,∴AB⊥面 ,
∴AB⊥ ;
由知EC⊥AB, ⊥AB,
又∵面ABC⊥面 ,面ABC∩面 =AB,∴EC⊥面 ,∴EC⊥ ,
∴EA,EC, 两两相互垂直,以E为坐标原点, 的方向为 轴正方向,| |为单位长度,打造如图所示 空间直角坐标系 ,
有题设知A, ,C,B,则 =, = =, =,
设 = 是平面 的法向量,
则 ,即 ,可取 =,
∴ = ,
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为
9．（2013年高考考试陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
证明: A1C⊥平面BB1D1D;
求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角 的大小.
解: ;又由于,在正方形AB CD中, .
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
.
打造直角坐标系统,用向量解题.
以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则
.
由知, 平面BB1D1D的一个法向量
设平面OCB1的法向量为
.
所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角 为
10．（2013年高考考试江西卷（理））如图,四棱锥 中, , ,连接 并延长交 于 .
求证: ;
求平面 与平面 的夹角的余弦值.
解:在 中,由于 是 的中点,所以 ,
故 ,
由于 ,所以 ,
从而有 ,
故 ,又由于 所以 ∥ .
又 平面 ,
所以 故 平面 .
以点 为坐标原点打造如图所示的坐标系,则 ,
,故
设平面 的法向量 ,则 ,
解得 ,即 .
设平面 的法向量 ,则 ,解得 ,
即 .从而平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
11．（2013年高考考试四川卷（理））如图,在三棱柱 中,侧棱 底面 , , , 分别是线段 的中点, 是线段 的中点.
在平面 内,试作出过点 与平面 平行的直线 ,说明理由,并证明直线 平面 ;
设中的直线 交 于点 ,交 于点 ,求二面角 的余弦值.
解: 如图,在平面 内,过点 做直线 // ,由于 在平面 外,
在平面 内,由直线与平面平行的判定定理可知, //平面 .
由已知, , 是 的中点,所以, ,则直线 .
由于 平面 ,所以 直线 .又由于 在平面 内,且 与 相交,所以直线平面
解法一:
连接 ,过 作 于 ,过 作 于 ,连接 .
由 知, 平面 ,所以平面 平面 .
所以 平面 ,则 .
所以 平面 ,则 .
故 为二面角 的平面角.
设 ,则由 , ,有 , .
又 为 的中点,所以 为 的中点,且 ,
在 中, ;在 中, .
从而, , , [来
所以 .
所以 .
故二面角 的余弦值为
解法二:
设 .如图,过 作 平行于 ,以 为坐标原点,分别以 , 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向,打造空间直角坐标系 .
则 , .
由于 为 的中点,所以 分别为 的中点,
故 ,
所以 , , .
设平面 的一个法向量为 ,则
即 故有
从而
取 ,则 ,所以 .
设平面 的一个法向量为 ,则
即 故有
从而
取 ,则 ,所以 .
设二面角 的平面角为 ,又 为锐角,
则 .
故二面角 的余弦值为
12．（2013年一般高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.
如图,在直三棱柱 中, , , ,点 是 的中点
求异面直线 与 所成角的余弦值
求平面 与 所成二面角的正弦值.
本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等入门知识与基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力.
解:以 为为单位正交基底打造空间直角坐标系 ,
则 , , , ,
∴ ,
∴
∴异面直线 与 所成角的余弦值为
是平面 的的一个法向量
设平面 的法向量为 ,∵ ,
由
∴ 取 ,得 ,∴平面 的法向量为
设平面 与 所成二面角为
∴ , 得
∴平面 与 所成二面角的正弦值为
13．（2013年一般高等学校招生统一考试概要版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图,四棱锥 中, 与 都是等边三角形.
证明: 求二面角 的大小.
14．（2013年一般高等学校招生统一考试山东数学（理）考试题目（含答案））如图所示,在三棱锥 中, 平面 , , 分别是 的中点, , 与 交 于点 , 与 交于点 ,连接 .
求证: ; 求二面角 的余 弦值.
解:证明:由于 分别是 的中点,
所以 ∥ , ∥ ,所以 ∥ ,
又 平面 , 平面 ,
所以 ∥平面 ,
又 平面 ,平面 平面 ,
所以 ∥ ,
又 ∥ ,
所以 ∥ .
解法一:在△ 中, , ,
所以 ,即 ,由于 平面 ,所以 ,
又 ,所以 平面 ,由知 ∥ ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,同理可得 ,
所以 为二面角 的平面角,设 ,连接 ,
在 △ 中,由勾股定理得, ,
在 △ 中,由勾股定理得, ,
又 为△ 的重心,所以
同理 ,
在△ 中,由余弦定理得 ,
即二面角 的余弦值为 .
解法二:在△ 中, , ,
所以 ,又 平面 ,所以 两两垂直,
以 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴,打造如图所示的空间直角坐标系,设 ,则 , , , , ,,所以 , , , ,
设平面 的一个法向量为 ,
由 , ,
得
取 ,得 .
设平面 的一个法向量为
由 , ,
得
取 ,得 .所以
由于二面角 为钝角,所以二面角 的余弦值为 .
15．（2013年高考考试湖南卷（理））如图5,在直棱柱 , , .
证明: ; 求直线 所成角的正弦值.
解:
.
.
16．（2013年一般高等学校招生统一考试福建数学（理）考试题目（纯WORD版））如图,在四棱柱 中,侧棱 , , , , , , .
求证:
若直线 与平面 所成角的正弦值为 ,求 的值;
现将与四棱柱 形状和大小一模一样的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小一模一样,则视为同一种拼接策略.问:共有几种不一样的策略?在这部分拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 ,写出 的表达式
解:取 中点 ,连接
,
四边形 为平行四边形
且
在 中,
,即 ,又 ,所以
平面 , 平面
,又 ,
平面
以 为原点, 的方向为 轴的正方向打造如图所示的空间直角坐标系 , , ,
所以 , ,
设平面 的法向量 ,则由
得 取 ,得
设 与平面 所成角为 ,则
,解得 .故所求 的值为1
共有 种不一样的策略
17．（2013年一般高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））如图,直棱柱 中, 分别是 的中点, .
证明: 平面 ; 求二面角 的正弦值.
18．（2013年高考考试北京卷（理））如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形, 平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
求证:AA1⊥平面ABC;
求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
证明:在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求 的值.
解:
由于AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC.
由于平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.
由知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A为原点打造空间直角坐标系A- ,则B,A1,B1,C1,
设平面A1BC1的法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,则 , ,所以 .
同理可得,平面BB1C1的法向量为 ,所以 . 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为 .
设D 是直线BC1上一点,且 . 所以 .解得 , , .
所以 .
由 ,即 .解得 .
由于 ,所以在线段BC1上存在点D,
使得AD⊥A1B.
