第一，我要感谢国际数学奥林匹克（香港）委员会及香港教育署让我有机会在数学普及讲坛及交流系列上作讲演。尤其要感谢国际数学奥林匹克（香港）委员会主席岑嘉评教授及谭炳均博士。我也要感谢今天来出席会议的各位香港的中学老师和同学。再过三天就要过春节了，大家都很忙，有大量事情要做，可是还抽空来听我的讲演，使我很感动。
这次讲演，打算讲以下几个方面：
一、百年前的讲演
二、百年前的讲演的启示
三、算术与代数
四、几何与三角
五、微积分
六、几点启示
七、结束语
一、百年前的讲演
今天是2001年1月20日，21世纪刚最初了20天。在100年前，即1904年8月5日，德国数学家DavidHilbert（18621943）在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演。这是载入数学史册的要紧讲演。他在讲演的前言和结束语中，对数学的意义、源泉、进步过程及研究办法等，发表了许多精辟的见解。而整个讲演的主体，则是他依据十九世纪数学研究的成就和发展的动向而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多要紧范围。一百年来，这些问题一直激起着数学家们浓厚的研究兴趣，100年过去了，这些问题近一半已经解决或基本解决，但还有些问题虽获得了重大进展，但未最后解决，如：Riemann猜想，Goldbach猜想等。
100年过去了，对Hilbert在1900年提出的23个问题，目前回过头来看，有不少评论。但是很大一部分人认为：这些问题，对推进二十世纪数学的进步起了很大的用途，当然也有评论说其不足之处，例如：这23个问题中未能包括拓扑学、微分几何等在二十世纪成为前沿学科的范围中的数学问题；除数学习物理外很少涉及应用数学待等。当然更不会想到二十世纪电脑的大进步及其对数学的重大影响。二十世纪数学的进步实质上是远远超出了Hilbert问题所预示的范围。
D。Hilbert是十九世纪和二十世纪数学交界线上高耸着的三位伟大数学家之一，另外二位是HenriPoincare（18541912）及FelixKlein（18491925），他们的数学思想及对数学的贡献，既反射出十九世纪数学的光辉，也照耀着二十世纪数学前进的道路。
D。Hilbert是在上一个世纪，新、旧世纪交替之际作的讲演，目前又一个新的世纪开始了，再来看看他的讲演，其中一些话，目前仍然适用，例如在讲演刚开始，他说大家当中有谁不想揭开将来的帷幕，看一看在今后的世纪里大家这门科学进步的前景和奥秘呢？大家下一代的主要数学思潮将追求哪种特殊目的？在广阔而丰富的数学思想范围，新世纪将会带来哪种新办法和新成就？他还接着说：历史教会大家，科学的进步具有连续性。大家知道，每一个年代都有它自身的问题，这些问题后来或者得以解决，或者由于无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。由于一个伟大年代的结束，不仅促进大家追潮过去，而且把自己的思想引向那未知的将来。
二十世纪无疑是一个数学的伟大年代，21世纪的数学将会愈加辉煌。每一个年代都有它自身的问题，二十世纪来临时，Hilbert提出了他认为是那个世纪的23个问题。这些问题对二十世纪数学的进步起了很大的推进功效，但二十世纪数学的收获却远远超出他所提出的问题。那样21世纪的问题又是什么呢？Hilbert1900年在巴黎国际数学家大会上提出这些问题时，才38岁，但已经是当时举世公认的德高望重的领袖数学家之一。大家知道，2002年国际数学家大会将在中国北京召开，这是国际数学家大会首次在第三世界召开，那样在这新旧世纪交替之际，会不会有像Hilbert这样崇高威望的人在会上提出他认为的21世纪的数学问题或是以其他的形式展望21世纪的数学？这个我当然不知道，但这些年来，已有不少数学家提出他自身认为的21世纪的数学问题，但往往是仁者见仁，智者见智。
二、百年前的讲演的启示
对Hilbert的23个问题不在这里介绍了，由于它超越了中学习数学的范围。但百年前，Hilbert演讲中对数学的一些见解都是很的深刻，百年过去了，重读他的演讲，依然得到大量启示，我也不可能在这短短的一个多小时内，对他的演讲的各个部分来阐述自身的领会，我只想讲一点对他说的其中的一段话自身的粗浅认识。
从十七世纪六十年代，微积分创造以来，数学得到了很大的进步，分支也越来越多。开始时一些大数学家，对各个分支都懂，并且做出了很重大的贡献。但后来数学的分支愈分愈细，全方位了解各个分支的数学家愈来愈少，到十九世纪末，Hilbert做讲演时，已经是这种状况，于是在讲演中，他说了这样一段话：然而，大家不禁要问，伴随数学常识的不断扩展，单个的研究者想要知道这些常识的所有部门岂不是变得不可能了吗？为了回答这个问题，我想指出：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更容易的办法的发现密切联系着，这些工具和办法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边，数学科学进步的这种特征是根深蒂固的。因此，对于个别的数学工作者来说，只须学会了这些有力的工具和容易的办法，他就有可能在数学的各个分支中比其它科学更轻易地找到前进的道路。。一百年过去了，数学进步得更为广阔与深人，分支越来越多，目前数学已有六十个二级学科、四百多个三级学科，更是不得了，所以Hilbert的上述这段话目前显得更为要紧。不仅如此，Hilbert的这段话实质上讲的是数学进步的历史过程，十分深刻地揭示了数学进步是一个新陈代谢，吐故纳新的过程，是一些新的有力的工具，更容易的办法的发现，与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程，是高级的数学替代低级的数学的过程，而数学科学进步的这种特征是根深蒂固的。事实上，在数学的历史中，一些新的有力的工具，更容易的办法的发现，往往标志着一个或多个数学分支的产生，是一些老的分支的衰落甚至结束。
回顾一下大家从小开始学数学的过程，就是在重复这个数学进步的过程。一些数学虽然后来被更有力的工具和更容易的办法所产生的新的数学所替代了，即低级的被高级的所替代了，但在大家一生学数学的过程中，却不可以只学习高级的，而完全不学习低级的，完全省略掉学习低级的过程。这是由于大家伴随年龄的不断增加，学习与他的年龄与智力相当的数学才是最好选择，学数学是一个循序渐进的过程，没有低级的数学打好基础，很难理解与学习好高级的数学。
以下大家从Hilbert讲演中的这一段精辟的论述的角度来认识自己的中小学的数学课程。我只是从数学进步的历史的角度来讨论问题，为大家从数学教育的角度来讨论问题作参考。但我需要强调的是：从数学进步的历史的角度来分析问题与从数学教育的角度来分析问题虽有联系，但是是不同的。
三、算术与代数
人类有数的定义，与人类开始用火一样古老，大约在三十万年前就有了。但是有文字记载的数学到公元前3400年左右才出现。至于数字的四则运算则更晚，在国内，《九章算术》是古代数学主要的著作，是从先秦到西汉中叶的海量学者不断修改、补充而成的一部数学著作，成书年代至迟在公元前一世纪。这是一本问题集形式的书，全书共246个题，分成九章，包含十分丰富的内容。在这本书中有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足术、解三元线性代数方程组、正负数、开方以及一些计算几何图形的面积与体积等。在西方，也或迟或早地出现了这些内容，而这些内容包括大家从小学一直到中学所学习算术课程的全部内容。也就是说人类经过了几千年才逐步弄明白打造起来的算术的内容，目前每一个人在童年年代花几年才逐步弄明白打造起来的算术的内容，目前每一个人在童年年代花几年就全部掌握了。对于算术来讲，真正的进展是由于更有力的工具和更容易的办法的发现，这个工具与办法是数字符号化，从而产生了另一门数学代数，即目前中学中的代数课程的内容。在国内，这已是宋元年代（约十三世
纪五六十年代），当时的著作中，有天元术和四元术，也就是让未知数记作为天元、x，后来将二个、三个及四个未知数记作为天、地、人、物等四元，也就是等于目前用x，y，z，w来表达四个未知数，有了这些元，也就可以解一些代数方程与联立线性代数方程组了。在西方彻底完成数字符号化是在十六世纪。目前中学生学习的代数的内容：包括一元二次方程的解，多元（一般为二元，三元至多四元）联立方程的解等。当然在数字符号化之前，一元二次方程的解，多元联立方程的解也是已经出现，例如国内古代已经有一些解一般数字系数的代数方程的算法程序，但这些都是用文字来表达的，直到数字符号化之后，才出现了目前中学代数的内容的形式。
由数字符号化而产生的中学代数的内容，的的确确是数学中真正的进展。代数的确是更有力的工具和更容易的办法，算术顾名思义，可以理解为计算的办法，而代数可以理解为以符号替代数字，即数字符号化。人类从算术走向代数经历了千年。但在中学的课程中，却只花短短的几年，就可以全部学会这些内容。
回忆我在童年年代，在小学学习算术课程时，感到很难，例如：求解鸡兔同笼题，即：一个笼子中关着若干只鸡，若干只兔，已知共有多少个头，多少只脚，求有多少只鸡，多少只兔？当时老师讲的求解的办法，目前已完全记不得了，留下的印象是感到很难，而且纳闷的是：鸡与兔为何要关在一个笼子里？既数得清有多少个头及多少只脚？为何数不清有多少只鸡与多少只兔？等到初中时，学习了代数课程，才恍然大悟，这不过是二元一次联立代数方程组，解方程组十分容易便捷，这不仅可以用来解鸡兔同笼，即便将鸭与狗关在一个房间中，来数头数与脚数，不妨叫做鸭狗同室问题，对这样的问题一样可以解。因之，代数显然比算术来得高级，这的确是更有力的工具和更容易的办法，而这些工具和办法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边，也就是从代数的角度来理解算术可以理解得更深刻，而可以把算术中一些复杂的，处置个别问题的办法抛到一边去。
在这里，我要重复说一遍，尽管中学的代数比小学的算术来得高级，是更有力的工具与更容易的办法，但并不意味着小学的算术就可以不必学了，由于：
（1）算术中的一些内容不可以完全被代数所替代，如四则运算等；
（2）即便能被替代的内容，适当的学习一些，有利于对代数内容的认识与理解；
（3）从教育学的角度分析，这里有循序渐进的问题，有学生不一样年龄段的接受能力的问题等等。
作为中学代数中的一个要紧内容是解多元一次联立方程组，在中学代数的教程中，一般着重讲二元或三元一次联立方程组，所用的办法往往是消元法。但是假如变元为四个或更多时，就得另想方法来打造起多元一次联立方程组的理论。经过大量年的努力，矩阵的想法产生了，这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论，而且由此打造起一门新的学科线性代数。这是又一次数学中真正的进展，由于更有力的工具和更容易的办法，即矩阵的发现，不仅对多元一次联立代数方程组的理解更为了解、更为深刻，由于有了统一处置办法，可以把个别地处置方程组的办法抛到一边。
当然，线性代数是大学的课程，但它的产生的确第三印证了Hilbert所说的那段话。在中学代数中的另一个要紧内容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算术》中已有解一般一元二次方程的算法，后来有大量的进步，直到al-khowarizmi（约783850）等于给出了一般形式的一元二次方程。
1545年G.Cardano（1501-1576）公布了由N.Fontana（1499－1557）发现知道一元三次方程的解，而一元四次方程的解由L.Ferrari（15221565）所解决。于是当时大批的数学家致力于更高次方程的求根式解，即企图只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算来表达方程的解。经过了二个世纪的努力，大批数学家都失败了，直到1770年J.Lagrange（17361813）看到了五次及高次方程不可能做到这点，又过了半个世纪，1824年，N.Abel（18021829）解决了这个问题，即对于一般的五次和五次以上的方程求根式解是不可能的。但哪种特殊的代数方程能用根式来求解，这是EGalois（18111832）所解决，而更为要紧的是：为知道决这个问题，他打造起群的定义，这就意味着现代代数理论的产生，这是又一次数学中真正的进展。它是由于更有力的工具和更容易的办法，即群的发现而造成的，有了群以及后来进步起来的现代代数理论，可以更了解、更深刻地理解以往高次代数方程求根式解的问题，而的确可以把以往那些陈旧的、复杂的东西抛到一边。
虽然群等近代代数的内容已超出中学教学的内容，但代数方程求根式解问题的提出到彻底解决，这三百年的过程，十分确切地印证了前面不断重复的Hilbert所说的那段话。
群的用途在历史上及现代数学中都是不可估量的。例如：1872年Klein提出著名的ErlangerProgramm，即认为各种几何学就是研究各种不一样变换群下的不变性质。这个数学思想，不仅对几何学的进步，而且对整个数学的进步起了巨大的用途。
